动态博弈是博弈论中的重要概念，它描述了参与者在决策过程中考虑对手的反应，并随着时间的推移不断调整策略。一个经典的动态博弈例子是《囚徒困境》。

在《囚徒困境》中，有两名囚犯被捕并被分开审讯。检察官给每人提出选择合作或者背叛的选择。如果两名囚犯都选择合作，他们会被判轻刑；如果两人都选择背叛，他们会被判重刑；如果一人选择合作，而另一人选择背叛，背叛者将获得最轻的刑罚，而合作者将面临最严重的后果。

我们可以用博弈论中的重要模型——博弈树（game tree）来分析《囚徒困境》。首先，列出囚犯 A 和囚犯 B 的选择，然后根据不同的选择结果来确定最终的收益。通过分析博弈树，可以找到纳什均衡（Nash Equilibrium），即每位囚犯都做出最佳选择，考虑对方的行动后，无法获得更好的结果。

在《囚徒困境》中，最理性的选择是背叛对方，因为无论对方选择合作还是背叛，背叛者都能获得更好的结果。这导致了囚犯困境中的困境，即最理性的选择却会导致最糟糕的结果。

通过这个例子，我们可以看到动态博弈中参与者的策略选择是相互影响的，需要考虑对方的反应，并在不断博弈中调整自己的策略以获得最优结果。

假设有两家公司 A 和 B 同时决定推出新产品，产品 A 和产品 B。它们的利润取决于对方的决策。如果两家公司都选择推出产品 A，它们的利润分别为 10 和 10；如果两家公司都选择推出产品 B，它们的利润分别为 5 和 5；如果一家公司选择推出产品 A，而另一家选择推出产品 B，那么选择产品 A 的公司的利润为 15，选择产品 B 的公司的利润为 0。

接下来，我们来画出这个完全且完美信息的动态博弈的博弈树：

在博弈树中，第一层表示公司 A 的决策，第二层表示公司 B 的决策。每个节点上的数字表示对应公司的利润。在这个动态博弈中，公司 A 首先做出决策，然后公司 B 根据公司 A 的决策做出自己的选择，最终确定双方的利润。

通过分析这个博弈树，可以找到最优的策略组合，即 Nash 均衡。在这个例子中，Nash 均衡是双方都选择推出产品 A，因为在这种情况下双方都能获得 10 的利润，而选择任何其他组合都会导致其中一方的利润更低。

假设有两名玩家 A 和 B 参与一个不完全信息的静态博弈，他们必须同时选择合作（C）或者背叛（D）。玩家 A 知道自己的类型（“强者”或“弱者”），而玩家 B 不知道玩家 A 的类型，但根据观察到的信号可以推断。如果玩家 A 是“强者”，那么他选择合作的概率为 0.8；如果玩家 A 是“弱者”，那么他选择合作的概率为 0.2。玩家 B 观察到信号后，根据自己的判断来选择合作或者背叛。

现在我们来画出这个不完全信息的静态博弈的博弈树：

在这个博弈树中，第一层表示玩家 A 的类型（“强者”或“弱者”），第二层表示玩家 A 的选择（合作C或者背叛D），第三层表示玩家 B 观察到信号后的选择。每个叶子节点表示了双方的利益，格式为（A 的利益，B 的利益）。

接下来，我们来分析贝叶斯均衡。在这个博弈中，贝叶斯均衡指的是玩家 B 根据观察到的信号做出的最佳响应，而这种响应可以使得玩家 A 无法通过改变自己的行为来获得更多的利益。

在这个例子中，如果玩家 B 观察到玩家 A 选择合作，那么玩家 B 应该选择合作，因为在这种情况下 B 能获得 0.8 的利益，而选择背叛只能获得 0.2 的利益。同理，如果玩家 B 观察到玩家 A 选择背叛，那么玩家 B 应该选择背叛，因为在这种情况下 B 能获得 0.8 的利益，而选择合作只能获得 0.2 的利益。

因此，在贝叶斯均衡中，玩家 A 的最佳策略是根据自己的类型选择合作的概率，而玩家 B 的最佳响应是根据观察到的信号来选择最优的行动，从而实现双方的利益最大化。